複素数について考えてみた。

複素数って知っていますか?

高校生になると、数学で習うみたい。だけど、計算はするけど、何に使えるの?って思いますよね。自分も思っていて、下記のホームページを見ていたら、いい問題があって、ある程度腑に落ちた感じがしたので、書いてみました(間違っているよってコメントがあればありがたいです)。ちなみに、複素数は虚数iを用いた方程式のことです。

Wikipediaでは、数学における複素数(ふくそすう、complex number)は、実数の対 ab と 1 と線型独立な(実数ではない)要素 i の線型結合 a + bi の形に表される二元数: 実数体上の二次拡大環の元)で、基底元 i はその平方が −1 になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれるって書いてあるけど、何言っているのっておもうんですよね。

話を戻しまして、

「虚数って何?意味あんの?」と高校生に言われたらどう答えるか

この中に、下記の問題がありました。

長さ16cmの紐があります。
この紐を使って、面積が17平方センチメートルの長方形を作るには、1辺の長さをいくつにすればよいでしょう?

答えは、4±iになります。

どういう意味何だって思いますよね。複素数では、実数が4で、虚数が1だよってなって、

(4+i)✕(4-i) = 17 だよってなりますよね。計算はいいんです。どういう意味?

ここからは、個人的に考えた推測です。

この問題のあれってなるところは、17m2を16mの紐で作るには長さが足りないってことです。

16m / 4辺 =4m/辺 4m✕4m = 16m2 1m2足りない。

どうすれば、1m2を出すことができるか?16mの紐を17m2(4.12・・・m/辺)になるくらいに伸ばせばいいんです。けど、無理やり伸ばしたから、縮もうとしますよね。この現象を自然に任すんです。最終的に伸ばした分と縮まった分が等しくなるので、実数としてはでてこないようにするんです。

複素数の虚数って、上のことなんだと思います。一時的には、発生しているけど、定常状態で見ると発生しない。実態に現れない。だから、虚なのかな。言いたいことはこれだけなのですが、本当ってなるので、グラフで書いてみました。

[B]が元々の16mの紐の1辺の長さ 4mです。そして、[A]が今回伸ばして、縮めての部分になります。横軸は時間になります。[C]が伸ばしたり、縮めたりした時の紐の長さになります。このグラフから、紐の長さは、5m⇔3mってことになります。17m2にしたい場合、これくらい伸ばさないといけないみたいですね。長い目で見ると、プラスマイナス0ですので、仕事などは生じません。

[C]の長さから、面積を求めたものが、[D]の曲線になります。面積も変動しており、その平均を取ると、

なんと、17m2になるんです。

これが、複素数の表していることなんだと思います。

実態にはでてこないが、変動はしている。人間が感じないレベルで変動させれば、容量だけ増えたように見えるかも。不思議な感じですね。

ちなみに、複素数は平面の移動にも使用されます。

これは、ベクトルの掛け算は、角度の足し算と値の掛け算だから。

要するに単位べクトルを掛けることで、方向を変化させることができるってことですね。

複素数を考えた人は何から考えついたんですかね。容量が多いことに疑問をもったんでしょうか?

これなら、ちょっともやっとしたものがなくなりました。参考までに。

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